My BLOG: Sistema de Numeracion

Liceo San Benito

Materia: Informatica

Tema: Sistema de Numeracion

Teacher: Mauricio

Estudiante: Alfredo Vargas

-Introduccion: Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos.

Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

-Definicion: Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los númerosválidos.

Un sistema de numeración puede representarse como

$\mathcal{N} = (S, \mathcal{R})$

donde:

$\mathcal{N}$ es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
$S\,$ es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
$\mathcal{R}$ son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

-Clasificacion de Sistemas de Numeracion:

Binario: El sistema binario, llamado también sistema diádico en ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es uno de los que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

-Ejemplo

Transformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

Decimal: también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) -cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9).

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Ejemplo:

$1,0243 = 1 \cdot 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2}+ 4 \cdot 10^{-3} + 3 \cdot 10^{-4}$

Octal: El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente hasta obtener cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
Ejemplo: El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:
$\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot 8^n+\ldots+d_1\cdot 8^1+d_0\cdot 8^0 , +d_{-1}\cdot 8^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot8^{-k}& =& \end{matrix}$

$N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot 8^i$

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452,32 tenemos que: 2*8⁰ + 5*8¹ + 4*8² + 3*8³ + 3*8^-1 + 2*8^-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 0,40625d

Entonces, 3452,32q = 1834,40625d

Hexadecimal: Es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa $2^8$ valores posibles, y esto puede representarse como $2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 =$ $1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0$ , que equivale al número en base 16 $100_{16}$ , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte. En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\}\,$ -Ejemplo:

0,06640625 en base decimal.Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado:1. Por lo tanto el siguiente decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.

Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico.
Gray: El código binario reflejado o código Gray, nombrado así en honor del investigador Frank Gray, es un sistema de numeración binario en el que dos valores sucesivos difieren solamente en uno de sus dígitos.

El código Gray fue diseñado originalmente para prevenir señales ilegales (señales falsas o viciadas en la representación) de los switches electromecánicos, y actualmente es usado para facilitar la corrección de errores en los sistemas de comunicaciones, tales como algunos sistemas de televisión por cable y la televisión digital terrestre.

ejemplo: 1010 (Base 2) a gray

Bcd: El BCD (el binario decimal codificado) es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargas a los bits binarios de acuerdo a sus posiciones. Las cargas en el código BCD son 8, 4, 2, 1.

Ejemplo:

Para representar el digito decimal 6 en código BCD sería:.

0110

Ya que 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 ÷ 0+1 = 6.

Es posible asignar cargas negativas a un código decimal, tal como se muestra en el código 8, 4, -2, -1. En esta caso la combinación de bits 0110 se interpreta como el digito decimal 2, l obtenerse de 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x (-2) + 0 x (-1)=2.

Codigo ascii: ASCII (acrónimo inglés de American Standard Code for Information Interchange —Código Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información), pronunciado generalmente [áski] o [ásci] , es un código de carácteres basado en el alfabeto latino, tal como se usa en inglés moderno y en otras lenguas occidentales. Fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense de Estándares (ASA, conocido desde 1969 como el Instituto Estadounidense de Estándares Nacionales, o ANSI) como una refundición o evolución de los conjuntos de códigos utilizados entonces entelegrafía. Más tarde, en 1967, se incluyeron las minúsculas, y se redefinieron algunos códigos de control para formar el código conocido como US-ASCII.

Tabla:

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jueves, 10 de julio de 2014

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